Qattiq Jism Mexanikasi

Qattiq jism — shakli o'zgarmas jism. Robotika, dronlar va raketalar uchun qattiq jism dinamikasi asosiy tushuncha.

---

1. Qattiq Jism Kinematikasi

1.1 Qattiq Jism Ta'rifi

Qattiq jism — har qanday ikki nuqtasi orasidagi masofa doimiy bo'lgan jism.

Qattiq jismning umumiy harakati:

1. Ilgarilanma harakat — massa markazining harakati
2. Aylanma harakat — massa markazi atrofida aylanish

1.2 Burchak O'zgaruvchilar

Chiziqli	Burchakli	Bog'lanish
Siljish $s$	Burchak $\theta$	$s = r\theta$
Tezlik $v$	Burchak tezlik $\omega$	$v = r\omega$
Tezlanish $a$	Burchak tezlanish $\alpha$	$a_t = r\alpha$

Burchak tezlik vektori:

$$\vec{\omega} = \frac{d\theta}{dt}\hat{n}$$

$\hat{n}$ — aylanish o'qi yo'nalishi (o'ng qo'l qoidasi).

1.3 Aylanma Harakat Kinematikasi

Doimiy burchak tezlanishda:

$$\omega = \omega_0 + \alpha t$$ $$\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2$$ $$\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(\theta - \theta_0)$$

---

2. Massa Markazi

2.1 Ta'rif

Diskret nuqtalar sistemasi uchun:

$$\vec{r}_{cm} = \frac{\sum m_i \vec{r}_i}{\sum m_i} = \frac{\sum m_i \vec{r}_i}{M}$$

Uzluksiz jism uchun:

$$\vec{r}_{cm} = \frac{1}{M}\int \vec{r}\,dm$$

2.2 Oddiy Shakllar Uchun Massa Markazi

Shakl	Massa markazi
Bir jinsli tayoq	Markazda
Uchburchak plastinka	Medianalar kesishuvida
Yarim doira	$\frac{4R}{3\pi}$ markazdan
Yarim shar	$\frac{3R}{8}$ markazdan
Konus	Asosdan $\frac{h}{4}$ balandlikda

2.3 Kompozit Jismlar

Murakkab shakl uchun:

$$x_{cm} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}$$

Bo'shliqli jism: Bo'shliqni manfiy massa sifatida hisoblaymiz.

---

3. Inertsiya Momenti

3.1 Ta'rif

Inertsiya momenti — jismning aylanishga qarshiligi.

Diskret nuqtalar:

$$I = \sum m_i r_i^2$$

Uzluksiz jism:

$$I = \int r^2\,dm$$

$r$ — aylanish o'qidan masofa.

3.2 Standart Shakllar

Shakl	Inertsiya momenti
Ichi bo'sh halqa (R)	$I = MR^2$
Disk/silindr (R)	$I = \frac{1}{2}MR^2$
Shar (R)	$I = \frac{2}{5}MR^2$
Ichi bo'sh shar	$I = \frac{2}{3}MR^2$
Tayoq (markazdan, L)	$I = \frac{1}{12}ML^2$
Tayoq (uchidan, L)	$I = \frac{1}{3}ML^2$
To'rtburchak plastinka (a x b, markaz)	$I = \frac{1}{12}M(a^2 + b^2)$

3.3 Parallel O'qlar Teoremasi

Agar massa markazi orqali o'tuvchi o'q uchun $I_{cm}$ ma'lum bo'lsa, parallel o'q uchun:

$$I = I_{cm} + Md^2$$

$d$ — ikki o'q orasidagi masofa.

Misol: Tayoq uchidan: $I = \frac{1}{12}ML^2 + M\left(\frac{L}{2}\right)^2 = \frac{1}{3}ML^2$ ✓

3.4 Perpendikulyar O'qlar Teoremasi

Yassi jism uchun (XY tekislikda):

$$I_z = I_x + I_y$$

---

4. Aylantiruvchi Moment (Torque)

4.1 Ta'rif

$$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$$

Miqdori:

$$\tau = rF\sin\theta = F \cdot d$$

$d = r\sin\theta$ — kuch yelkasi (moment arm).

4.2 Aylanma Harakat Tenglamasi

Nyutonning ikkinchi qonuni (aylanma):

$$\sum \tau = I\alpha$$

Taqqoslash:

Chiziqli	Aylanma
$F = ma$	$\tau = I\alpha$
$p = mv$	$L = I\omega$
$K = \frac{1}{2}mv^2$	$K = \frac{1}{2}I\omega^2$

4.3 Ish va Quvvat

Aylanma ish:

$$W = \int \tau\,d\theta$$

Doimiy moment uchun: $W = \tau\theta$

Quvvat:

$$P = \tau\omega$$

---

5. Impuls Momenti (Angular Momentum)

5.1 Ta'rif

Nuqta uchun:

$$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times m\vec{v}$$

Qattiq jism uchun (asosiy o'q atrofida):

$$L = I\omega$$

5.2 Impuls Momenti Saqlanishi

Agar $\sum \tau_{ext} = 0$:

$$L = I\omega = const$$

Misol: Figurist aylanayotganda qo'llarini yig'sa:

• $I$ kamayadi
• $\omega$ oshadi (tezroq aylanadi)
• $L = I\omega$ saqlanadi

5.3 Pretsessiya

Giroskop yoki aylanuvchi jismga tashqi moment ta'sir qilganda:

$$\Omega_p = \frac{\tau}{L} = \frac{Mgd}{I\omega}$$

$\Omega_p$ — pretsessiya burchak tezligi.

---

6. Statik Muvozanat

6.1 Muvozanat Shartlari

Qattiq jism muvozanatda bo'lishi uchun:

1. Kuchlar muvozanati: $\sum \vec{F} = 0$
2. Momentlar muvozanati: $\sum \vec{\tau} = 0$ (har qanday nuqta atrofida)

6.2 Barqaror va Nobarqaror Muvozanat

Turi	Tavsif	Misol
Barqaror	Kichik siljishda qaytadi	To'p chuqurchada
Nobarqaror	Kichik siljishda uzoqlashadi	To'p tepalikda
Neytral	Yangi holatda qoladi	To'p tekis sirtda

Barqarorlik sharti: Massa markazi tayanch maydonining ichida bo'lishi kerak.

6.3 Ag'darish Burchagi

Jism ag'darilishi uchun massa markazi tayanch chegarasidan chiqishi kerak:

$$\theta_{max} = \arctan\left(\frac{b}{2h}\right)$$

$b$ — tayanch kengligi, $h$ — massa markazi balandligi.

---

7. Dumalanish

7.1 Sirpanmasdan Dumalanish

Sirpanmasdan dumalanish sharti:

$$v_{cm} = R\omega$$

7.2 Kinetik Energiya

Dumalanayotgan jism:

$$K = K_{trans} + K_{rot} = \frac{1}{2}Mv_{cm}^2 + \frac{1}{2}I_{cm}\omega^2$$

Sirpanmasdan dumalanishda:

$$K = \frac{1}{2}Mv_{cm}^2\left(1 + \frac{I_{cm}}{MR^2}\right)$$

7.3 Nishablikdan Dumalanish

Balandlik $h$ dan tushganda:

$$Mgh = \frac{1}{2}Mv^2\left(1 + \frac{I_{cm}}{MR^2}\right)$$ $$v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + I_{cm}/(MR^2)}}$$

Jism	$I_{cm}/(MR^2)$	Tezlik
Ichi bo'sh halqa	1	$\sqrt{gh}$
Disk	0.5	$\sqrt{4gh/3}$
Shar	0.4	$\sqrt{10gh/7}$

Shar eng tez tushadi!

---

8. Giroskopik Effektlar

8.1 Giroskop

Tez aylanuvchi rotor o'z o'qini saqlab qolishga intiladi.

Giroskopik barqarorlik: Dronlar va raketalar orientatsiyasini saqlashda muhim.

8.2 Nutatsiya

Giroskop o'qining tebranishi:

$$\omega_n = \frac{Mgd}{I_s\omega}$$

8.3 Dron va Raketa uchun Ahamiyati

Quadcopter:

• 4 ta propeller — juft-juft qarama-qarshi aylanadi
• Umumiy giroskopik moment nolga teng (balans)
• Yaw boshqaruvi — propeller tezliklarini o'zgartirish

Raketa:

• Spin stabilizatsiya — raketa o'qi atrofida aylanadi
• Giroskopik barqarorlik traektoriyani saqlaydi

---

9. 3D Aylanish va Euler Burchaklari

9.1 Euler Burchaklari

3D orientatsiyani tasvirlash uchun 3 ta burchak:

Burchak	Nomi	O'q
$\phi$	Roll	X (old-orqa)
$\theta$	Pitch	Y (chap-o'ng)
$\psi$	Yaw	Z (yuqori-pastki)

9.2 Aylanish Matritsalari

X o'qi atrofida (Roll):

$$R_x(\phi) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\phi & -\sin\phi \\ 0 & \sin\phi & \cos\phi \end{pmatrix}$$

Umumiy aylanish: $R = R_z(\psi)R_y(\theta)R_x(\phi)$

9.3 Gimbal Lock

Euler burchaklarning kamchiligi — $\theta = \pm 90°$ da bir daraja erkinlik yo'qoladi.

Yechim: Quaternionlar (4D)

---

10. Qo'llanilishi

10.1 Robot Qo'li

• Har bir bo'g'in — alohida inertsiya momenti
• Umumiy dinamika — barcha bo'g'inlar birgalikda
• Moment hisoblash motor tanlash uchun

10.2 Quadcopter

• Ramka inertsiya momenti — $I_{xx}$, $I_{yy}$, $I_{zz}$
• Propeller giroskopik effektlari
• Roll/Pitch/Yaw boshqaruvi

10.3 Raketa

• Yonilg'i sarfi bilan massa markazi siljadi
• Inertsiya momenti o'zgaradi
• Barqarorlik markazini hisoblash

---

Xulosa

Tushuncha	Formula
Inertsiya momenti	$I = \sum m_i r_i^2$
Aylantiruvchi moment	$\tau = I\alpha$
Impuls momenti	$L = I\omega$
Aylanma energiya	$K = \frac{1}{2}I\omega^2$
Muvozanat	$\sum F = 0$, $\sum\tau = 0$
Dumalanish	$v = R\omega$

Keyingi qadam: Masalalar va Python simulyatsiya.