2.2 Dinamika — Nazariya

Hafta: 3 | Masalalar: 35 | Qiyinlik: ⭐⭐⭐

---

Kirish

Dinamika — kuchlar va harakat orasidagi bog'liqlikni o'rganadi. Kinematika "qanday harakat qiladi" deb so'rasa, dinamika "nima uchun harakat qiladi" deb javob beradi.

Robotika, dronlar va raketalarda dinamika:

• 🤖 Motor kuchlari — robot harakatini boshqarish
• 🚁 Propeller itarishi — dron ko'tarilishi
• 🚀 Raketa dvigatellar — kosmik uchish

---

1. Nyutonning Birinchi Qonuni (Inersiya)

Jismga kuch ta'sir etmasa yoki kuchlar muvozanatda bo'lsa, jism tinch holatda qoladi yoki tekis to'g'ri chiziqli harakat qiladi.

$$\sum \vec{F} = 0 \Rightarrow \vec{v} = \text{const}$$

Inersiya

Jismning holatini o'zgartirishga qarshilik. Massa — inersiyaning o'lchovi.

---

2. Nyutonning Ikkinchi Qonuni

Jismning tezlanishi unga ta'sir etuvchi natijaviy kuchga to'g'ri proporsional va massasiga teskari proporsional.

$$\vec{F} = m\vec{a}$$

Yoki komponentlar bo'yicha:

$$F_x = ma_x, \quad F_y = ma_y, \quad F_z = ma_z$$

Birliklar

• Kuch: Nyuton (N) = kg·m/s²
• Massa: kilogramm (kg)
• Tezlanish: m/s²

Muhim

Bu qonun robotika va kontrolda asosiy tenglama — kuchni bilsak, harakatni bashorat qilamiz.

---

3. Nyutonning Uchinchi Qonuni

Har bir kuchga teng va qarama-qarshi kuch mavjud.

$$\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}$$

Misollar

• Raketa gaz chiqaradi (pastga) → gaz raketani itaradi (yuqoriga)
• Robot g'ildiragi yerni itaradi → yer robotni oldinga itaradi
• Propeller havoni pastga itaradi → havo dronni ko'taradi

---

4. Kuch Turlari

Gravitatsiya kuchi (Og'irlik)

$$\vec{W} = m\vec{g}$$

Yerda: $g \approx 9.81$ m/s² (pastga)

Normal kuch

Sirtdan perpendikular kuch:

$$\vec{N} \perp \text{sirt}$$

Gorizontal sirtda: $N = mg$

Ishqalanish kuchi

Statik ishqalanish (tinch jism):

$$f_s \leq \mu_s N$$

Kinetik ishqalanish (harakatdagi jism):

$$f_k = \mu_k N$$

Bu yerda $\mu$ — ishqalanish koeffitsienti.

Havo qarshiligi (Drag)

$$F_D = \frac{1}{2}\rho v^2 C_D A$$

• $\rho$ — havo zichligi (~1.2 kg/m³)
• $v$ — tezlik
• $C_D$ — qarshilik koeffitsienti
• $A$ — ko'ndalang kesim yuzi

Elastik kuch (Prujina)

Guk qonuni:

$$F = -kx$$

$k$ — prujina bikrligi (N/m), $x$ — cho'zilish/siqilish

---

5. Erkin Jism Diagrammasi (FBD)

Jismga ta'sir etuvchi barcha kuchlarni ko'rsatish:

        N (normal)
        ↑
        |
    ←---●---→ F (qo'llangan)
        |
        ↓
        W (og'irlik)

FBD qurish bosqichlari

1. Jismni ajratib oling
2. Barcha kuchlarni aniqlang
3. Koordinata sistemasini tanlang
4. Kuchlarni vektor sifatida chizing
5. Nyuton qonunini qo'llang

---

6. Qiya Tekislik

Burchak $\theta$ ga og'gan tekislikda:

        ↑ N
        |
    ----●---- → (tekislik bo'ylab)
       /|
      / | W cos θ
     /θ |
    /   ↓ W sin θ
   /_____

Kuchlar:

• Tekislik bo'ylab: $W\sin\theta - f = ma$
• Tekislikka perpendikular: $N - W\cos\theta = 0$

Ishqalanishsiz sirpanish:

$$a = g\sin\theta$$

---

7. Aylanma Harakat Dinamikasi

Markazga intilma kuch

$$F_c = \frac{mv^2}{r} = m\omega^2 r$$

Bu real kuch emas, balki aylanma harakat uchun zarur bo'lgan natijaviy kuch.

Misollar

• Arqon bilan aylanayotgan to'p → arqon tarangligi
• Yo'ldosh orbitada → gravitatsiya
• Avtoburilish → ishqalanish kuchi

---

8. Robotikada Qo'llanilish

Motor va G'ildirak

Motor momenti $\tau$, g'ildirak radiusi $r$:

$$F = \frac{\tau}{r}$$

Robot tezlanishi:

$$a = \frac{F - f}{m} = \frac{\tau/r - \mu mg}{m}$$

Quadcopter Dinamikasi

To'rtta motor kuchi:

$$F_{total} = F_1 + F_2 + F_3 + F_4$$

Ko'tarilish sharti:

$$F_{total} > mg$$

Vertikal tezlanish:

$$a_z = \frac{F_{total} - mg}{m}$$

Raketa Dinamikasi

Tsiolkovsky raketa tenglamasi (keyingi bo'limda batafsil):

$$\Delta v = v_e \ln\frac{m_0}{m_f}$$

---

9. Bog'langan Sistemalar

Ip bilan bog'langan jismlar

   m1 ---[ip]--- m2

Ip tarangligi $T$ va tezlanish $a$ bir xil (cho'zilmas ip).

m1 uchun: $F - T = m_1 a$ m2 uchun: $T = m_2 a$

Yechim:

$$a = \frac{F}{m_1 + m_2}$$ $$T = \frac{m_2 F}{m_1 + m_2}$$

Atwood mashinasi

     [kashta]
        |
    ----●----
    |       |
   m1      m2

Agar $m_1 > m_2$:

$$a = \frac{(m_1 - m_2)g}{m_1 + m_2}$$ $$T = \frac{2m_1 m_2 g}{m_1 + m_2}$$

---

10. Dinamik Muvozanat

Jism tekis harakat qilganda (a = 0):

$$\sum F_x = 0, \quad \sum F_y = 0$$

Terminal tezlik (havo qarshiligida):

$$mg = \frac{1}{2}\rho v_t^2 C_D A$$ $$v_t = \sqrt{\frac{2mg}{\rho C_D A}}$$

---

Xulosa

Qonun/Tushuncha	Formula	Qo'llanilish
Nyuton II	$F = ma$	Asosiy dinamika
Gravitatsiya	$W = mg$	Og'irlik hisoblash
Ishqalanish	$f = \mu N$	Tortish, tormozlash
Havo qarshiligi	$F_D \propto v^2$	Yuqori tezlikda
Markazga intilma	$F_c = mv²/r$	Aylanma harakat

---

Keyingi Qadam

📝 Masalalar — 35 ta masala yeching!